Fungsi

Relasi dari himpunan A = {a, b, c, d} ke himpunan B = {p, q, r, s} yang disajikan dalam diagram panah berikut, mana yang merupakan fungsi ?

Definisi fungsi :

Suatu pemetaan/fungsi f dari himpunan A ke B adalah aturan pengawanan yang memetakan setiap x ∈ A dengan tunggal y ∈ B. f fungsi jika hanya jika (" x ∈ A) (' | y ∈ B) demikian sehingga berlaku y = f(x). Himpunan A disebut daerah asal (domain). Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain). Himpunan yang anggotanya adalah anggota B yang mempunyai kawan di A disebut daerah hasil (range).
atau
Misalkan f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan:
Jika x ∈ A dan y ∈ B sehingga pasangan berurut (x, y) ∈ f , maka y disebut peta atau bayangan dari x oleh fungsi f. Peta atau bayangan ini dinyatakan dengan y = f (x) seperti ditunjukkan pada gambar berikut.
Jadi, suatu fungi f dapat disajikan dengan lambang pemetaan sebagai berikut:

f : x ® y = f (x)

dengan y = f (x) disebut rumus atau aturan fungsi, x disebut peubah (variabel) bebas dan y disebut peubah (variabel) tak bebas.

Himpunan A disebut daerah asal atau domain dan dilambangkan dengan Df.

Himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain dan dilambangkan dengan Kf.

Himpunan dari semua peta A di B disebut daerah hasil (range) dan dilambangkan dengan Rf.

Contoh 1:

A = {1, 2, 3, 4} dan B = {5, 7, 9, 10, 11, 12}

f: A ® B dimana f(x) = 2x +3

Diagram panahnya sbb:

Domainnya adalah semua anggota himpunan A = {1, 2, 3, 4}.

Kodomainnya adalah semua anggota himpunan B = {5, 7, 9, 10, 11, 12}

Rangenya adalah setiap anggota dari A harus mempunyai anggota dari B dan anggota B ada yang mempunyai kawan di A. maka rangenya C = {5, 7, 9, 11}

Macam-Macam Fungsi :

1.      Fungsi Into

Suatu fungsi f dari A ke B, jika daerah hasilnya merupakan himpunan bagian dari B maka f disebut fungsi into. f into jika hanya jika R Ì B
Contoh :

                                                                  R = {a, i}

                                                                  B = {a, i, u}

                                                                  R Ì B maka f fungsi into

2.      Fungsi konstan

Suatu fungsi f dari A ke B disebut fungsi konstan jika hanya jika jika daerah hasil merupakan singleton (Rnya hanya 1 saja).

Contoh : A = {1, 2, 3, 4} dan B = {0, 5, -2}dengan relasi “ < “ maka f konstan
                  R = {5}
                  A < B
3.      Fungsi Identitas

Suatu fungsi f dari A ke B disebut fungsi identitas jika dan hanya jika A = B. f identitas jika hanya jika demikian sehingga berlaku f(x) = x.

Contoh : diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 3, 4, 1}

4.      Fungsi Injektif (fungsi satu-satu)

Suatu fungsi f dari A ke B ditulis sebagai f : x ® f(x) = y. y disebut sebagai peta atau image atau bayangan dari x atau hanya fungsi f. Jika setiap y ∈ B yang menjadi bayangan dari x, hanya mempunyai satu kawan di A maka fungsi f disebut Fungsi Injektif .

Secara lebih singkat f : A ® B adalah satu-satu jika f(a) = f(a’) maka a = a’ atau yang ekivalen dengannya yaitu jika a ¹ a’ maka f(a) ¹ f(a’).

Contoh :

·        Misalkan fungsi f : R# ® R# didefinisikan oleh rumus f(x) = x2. Maka f bukan fungsi satu-satu karena f(2) = f(-2) = 4 yaitu bayangan dari dua bilangan riil yang berbeda yakni 2 dan -2 adalah bilangan yang sama.

·        Fungsi f yang menetapkan ibukota-ibukota tiap-tiap Negara di dunia adalah fungsi satu-satu karena Negara-Negara yang berbeda mempunyai ibukota-ibukota yang berbeda yaitu tidak ada kota yang ibukota dari dua Negara yang berbeda.

5.      Fungsi Surjektif (fungsi pada)

Suatu fungsi f dari A ke B disebut fungsi surjektif jika dan hanya jika jika daerah hasilnya sama dengan kodomainnya. Atau

Misalkan f suatu fungsi dari A ke B. Maka jangkauan f(A) dari fungsi f adalah subhimpunan B, yaitu f(A) Ì B. jika f(A) = B yaitu jika setiap anggota B muncul sebagai bayangan dari sekurang-kurangnya satu elemen dari A, maka dikatakan “f adalah suatu fungsi dari A pada B” atau “f memetakan dari A pada B” atau “f adalah suatu fungsi pada”.

Contoh :

    Misalkan f : A ® B dengan A = {a, b, c, d} dan B = {a, b, c}. perhatikan bahwa f(A) = {a, b, c, d}, karena B = {a, b, c} jangkauan dari f tidak sama dengan kodomainnya yang berarti f tidak pada.
    Misalkan f : A ® B dengan A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z}. perhatikan bahwa f(A) = {x, y, z}= B yaitu jangkauan/sama dengan kodomain B jadi f memetakan A pada B yang berarti f suatu peta pada.

6.      Fungsi Bijektif

Jika semua anggota dari B punya kawan tunggal di A maka f disebut fungsi bijektif (korespondensi satu-satu).

Contoh : diketahui A = {2, 3, 4) dan B = {4, 6, 8} dengan relasi “B dua kali dari A”
  
7.      Pergandaan (Fungsi Komposisi)

Dua buah fungsi f dan g disebut sama jika untuk setiap x1 dan x2 anggota A jika x1 = x2 maka f(x1) = g(x2). Dua buah fungsi f dan g dapat digandakan jika f : x ® f(x) = y dan g : y ® g(y) = z.

Definisi:

Misalkan fungsi

f : A®B ditentukan dengan rumus y = f (x)

g : B®C ditentukan dengan rumus y = g(x)

Fungsi komposisi g dan f ditentukan dengan aturan:

h(x) = (g o f )(x) = g( f (x))
o dibaca komposisi atau “bundaran”

8. Fungsi Invers

Jika diketahui fungsi f dari A ke B (jika ada) fungsi g yang hanya memetakan setiap y ∈ B dengan tunggal x ∈ A maka g disebut invers dari f ditulis f-1. Atau Jika fungsi f : A®B dinyatakan dengan pasangan berurutan f :{(a,b) | a∈ A dan b∈B} maka invers fungsi f adalah f-1 : B®A ditentukan oleh f {( b , a ) | b ∈ B dan a ∈ A}