Latar Belakang
Ilmu matematika bukan hanya ilmu yang terbatas pada hitungan , melainkan banyak lagi bagian dari matematika yang belum kita ketahui bentuknya.
Apakah matematika itu ? Sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat dari para ilmuan matematika tentang apa yang disebut matematika. Untuk menafsirkan matematika para ilmuan belum pernah mencapai titik “puncak” kesepakatan yang “sempurna”. Banyak definisi yang dikemukakan oleh para ilmuan tentang matematika ini, menunjukkan bahwa ilmu matematika ini adalah ilmu yang memiliki kajian luas.
Pada makalah ini penyusun akan membahas seluk beluk ilmu matematika dan aliran – aliran dalam filsafat matematika.
A. Hakikat Matematika
1. Pengertian Matematika
Istilah matematika berasal dari bahasa Inggris , mathematics, yang artinya ilmu pasti, matematika. Mathematical merupakan kata sifat, artinya berhubungan dengan ilmu pasti. Mathematically adalah kata kerja yang artinya menurut ilmu pasti, secara mathematis, dan mathematician adalah kata benda yang artinya, yaitu orang ahli matematika.
Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, matematika artinya “ ilmu tentang bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan”.
Hudoyo (1979:96) mengemukakan bahwa hakikat matematika berkenaan dengan ide-ide, struktur- struktur dan hubungan-hubungannya yang diatur menurut urutan yang logis. Jadi matematika berkenaan dengan konsep-konsep yang abstrak. Selanjutnya dikemukakan bahwa apabila matematika dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan maka simbol- simbol formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang beroperasi di dalam struktur-struktur. Sedang Soedjadi (1985:13) berpendapat bahwa simbol-simbol di dalam matematika umumnya masih kosong dari arti sehingga dapat diberi arti sesuai dengan lingkup semestanya.
Selain itu ada juga yang mengatakan bahwa matematika adalah bahasa yang dapat menghilangkan sifat yang kurang jelas dan emosional. Matematika adalah metode berpikir logis. Matematika adalah sarana berpikir. Matematika adalah raja dari ilmu lain yang perkembangannya tidak tergantung ilmu lain.
Matematika merupakan puncak kegemilangan intelektual. Di samping pengetahuan matematika itu sendiri, matematika memberikan bahasa, proses dan teori, yang memberikan ilmu suatu bentuk dan kekuasaan. Perhitungan matematika menjadi dasar bagi desain ilmu teknik.
2. Matematika adalah ilmu Deduktif
Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif, karena proses mencari kebenaran (generalisasi) dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan yang lain. Metode yang pencarian kebenaran yang dipakai adalah metode deduktif, tidak dapat dengan cara induktif. Pada ilmu pengetahuan alam adalah metodeinduktif dan eksperimen.
Ciri utama matematika adalah penalaran deduktif tanpa mempersyaratkan penalaran induktif. Penalaran deduktif ini lahir melalui kebenaran suatu konsep yang diperoleh sebagai akibat logis dari pernyataan sebelumnya sehingga kaitan pernyataan yang dahulu dengan berikutnya di dalam matematika selalu konsisisten.
Walaupun dalam mtematika mencari kebenaran itu dapat dimulai dengan cara induktif, tetapi sterusnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus bisa di buktikan dengan cara deduktif. Dalam matematika suatu generalisasi dari sifat, teori atau dalil itu dapat diterima kebenarannya sesudahnya dibuktikan secara deduktif.
Matematika merupakan ilmu deduktif, aksiomatik, hirarkis, abstrak, bahasa simbol yang padat artinya dan semacam sistem matematika. Sistem matematika merupakan sistem yang berisi model-model matematika yang digunakan untuk memecahkan persoalan-persoalan di dunia nyata. Manfaat lain dari ilmu matematika adalah menjadikan pola pikir manusia yang mempelajarinya menjadi pola pikir matematis yang sistematis, logis, kritis, dengan penuh kecermatan.
Berdasarkan perspektif epistemologi, kebenaran matematika terbagi dalam dua kategori, yaitu pandangan absolut dan pandangan fallibilis. Absolutis memandang kebenaran matematika secara absolut, bahwa „mathematics is the one and perhaps the only realm of certain, unquestionable and objective knowledge‟, sedangkan menurut fallibilis mathematicak truth is corrigible, and can never regarded as being above revision and correction‟ (Ernest, 1991).
Menurut Woozley (dalam Ernest, 1991), pengetahuan terbagi dalam dua kategori, yaitu pengetahuan a priori dan pengetahuan a posteriori (empirical). Pengetahuan apriori memuat proposisi yang didasarkan atas, tanpa dibantu dengan observasi terhadap dunia. Penalaran di sini memuat penggunaan logika.
Deduktif dan makna dari istilah-istilah, secara tipikal dapat ditemukan dalam definisi. Secara kontras pengetahuan a posteriori memuat proposi yang didasarkan atas pengalaman, yaitu berdasarkan observasi dunia.
Absolutis memandang pengetahuan matematika didasarkan atas dua jenis asumsi; matematika ini berkaitan dengan asumsi dari aksioma dan definisi, dan logika yang berkaitan dengan asumsi aksioma, aturan menarik kesimpulan dan bahasa formal serta sintak. Ada lokal (micro) dan ada global (macro) asumsi, seperti deduksi logika cukup untuk menetapkan kebenaran matematika. Menurut Wilder (dalam Ernest, 1991), pandangan absolutis menemui masalah pada permulaan permulaan abad 20, ketika sejumlah antinomis dan kontradiksi yang diturunkan dalam matematika. Kontradiksi lainnya muncul dalah teori himpunan dan teori fungsi. Penemuan ini berakibat terkuburnya pandangan absolutis tentang matematika. Jika matematika itu pasti dan semua teoremanya pasti, bagaimana dapat terjadi kontradiksi di antara teorema-teorema itu? Tesis dari fallibilis memiliki dua bentuk yang ekivalen, satu positif dan satu negatif. Bentuk negatif berkaitan dengan penolakan terhadap absolutis; pengetahuan matematika bukan kebenaran yang mutlak dan tidak memiliki validitas yang absolut. Bentuk positifnya adalah pengetahuan matematika dapat dikoreksi dan terbuka untuk direvisi terus menerus.
B. Aliran dalam Filsafat Matematika
Para ahli banyak berbeda pendapat tentang pemikiran filsafat dan matematika. Pemikiran tentang matematika diwarnai dengan perdebatan sengit antara ahli matematika yang satu dengan ahli matematika lainnya. Karena adanya perdebatan ini seoalah-olah para ahli terkotak-kotak menurut kelompoknya masing-masing berdasarkan sudut pandang pandang dan ide yang dikeluarkannya.
Sumardyono (2004) menjelaskan bahwa secara umum terdapat tiga aliran besar yang mempengaruhi perkembangan matematika, termasuk perkembangan pendidikan matematika, yakni:
1. Aliran Logikalisme atau Logisisme
Logisisme memandang bahwa matematika sebagai bagian dari logika. Penganutnya antara lain G. Leibniz, G. Frege (1893), B. Russell (1919), A.N. Whitehead dan R. Carnap(1931). Logisme dipelopori oleh filsuf Inggris bernama Bertrand Arthur William Russell menerima logisisme adalah yang paling jelas, pernyataan penting yang dikemukakannya, yaitu semua konsep matematika secara mutlak dapat disederhanakan pada konsep logika dan semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan melalui penarikan kesimpulan secara logika semata. Dengan demikian logika dan matematika merupakan bidang yang sama karena seluruh konsep dan dalil matematika dapat diturunkan dari logika.
Secara umum, ilmu merupakan pengetahuan berdasarkan analisis dalam menarik kesimpulan menurut pola pikir tertentu. Matematika, menurut Wittgenstein, merupakan metode berpikir logis. Berdasarkan perkembangannya, masalah logika makin lama makin rumit dan membutukan suatu metode yang sempurna. Dalam pandangan inilah, logika berkembang menjadi matematika. Menurut Russell, bahwa “ matematika merupakan masa kedewasaan matematika, sedangkan logika adalah masa kecil matematika”
Menurut Ernest (1991), ada beberapa keberatan terhadap logisisme antara lain:
a. Bahwa pernyataan matematika sebagai impilikasi pernyataan sebelumnya, dengan demikian kebenaran-kebenaran aksioma sebelumnya memerlukan eksplorasi tanpa menyatakan benar atau salah. Hal ini mengarah pada kekeliruan karena tidak semua kebenaran matematika dapat dinyatakan sebagai pernyataan implikasi.
b. Teorema Ketiddaksempurnaan Godel menyatakan bahwa bukti deduktif tidak cukup untuk mendemonstrasikan semua kebenaran matematika. Oleh karena itu reduksi yang sukses mengenai aksioma matematika melalui logika belum cukup untuik menurunkan semua kebenaran matematika.
c. Kepastian dan keajegan logika bergantung kepada asumsi-asumsi yang tidak teruji dan tidak dijustifikasi. Program logisis mengurangi kepastian pengetahuan matematika dan merupakan kegagalan prinsip dari logisisme. Logika tidak menyediakan suatu dasar tertentu untuk pengetahuan matematika.
2. Aliran Formalisme
Landasan matematika formalisme dipelopori oleh ahli matematika besar dari Jerman David Hilbert. Menurut airan ini sifat alami dari matematika ialah sebagai sistem lambang yang formal, matematika bersangkut paut dengan sifat – sifat struktural dari simbol – simbol dan proses pengolahan terhadap lambang – lambang itu. Simbol – simbol dianggap mewakili berbagai sasaran yang menjadi obyek matematika. Bilangan – bilangan misalnya dipandang sebagai sifat – sifat struktural yang paling sederhana dari benda – benda.
Menurut Ernest (1991) formalis memiliki dua dua tesis, yaitu
1. Matematika dapat dinyatakan sebagai sistem formal yang tidak dapat ditafsirkan sebarangan, kebenaran matematika disajikan melalui teorema-teorema formal.
2. Keamanan dari sistem formal ini dapat didemostrasikan dengan terbebasnya dari ketidak konsistenan.
Berdasarkan landasan pemikiran itu seorang pendukung aliran formalisme merumuskan matematika sebagai ilmu tentang sistem – sistem formal.
Walaupun semua sistem matematika masih menggunakan sistem aksioma, tetapi menganggap matematika sebagai konsep formalisme tidak dterimaoleh beberapa ahli.keberatan bermula ketika Godel membuktikan bahwa tidak mungkin bisa membuat sistem yang lengkap dan konsisten dalam dirinya sendiri. Pernyataan ini dikenal dengan Teorema Ketidaklengkapan Godel (Godel’s Incompleteness Theorem).
3. Aliran Intuitonisme
Aliran intuitonisme yang dipelopori oleh ahli matematik dari Belanda yaitu Luitzen Egbertus Jan Brouwer, be;iau berpendirian bahwa matematika adalah sama dengan bagian yang eksak dari pemikiran matematika. Ketetapan matematika terletak dalam akal manusia dan tidak pada simbol – simbol di atas kertas. Selanjutnya intuisionis menyatakan bahwa obyek segala sesuatu termasuk matematika, keberadaannya hanya terdapat pada pikiran kita, sedangkan secara eksternal dianggap tidak ada.
Dalam pemikiran intuitionisme matematika berlandaskan suatu dasar mengenai kemungkinan untuk membangun sebuah seri bilangan yang tak terbatas sebuah seri bilangan yang tak terbatas, pernyataan ini pada hakikatnya merupakan suatu aktivitas berfikir tang yang tak tergantung pada pengalaman, bebas dari bahasa dan simbolis, serta bersifat obyektif.
Keberatan terhadap aliran ini adalah bahwa pandangan kaum intuitisme tidak memberikan gambaran yang jelas tentang bagaimana matematika bekerja dalam pikiran. Kita tidak mengetahui secara tepat pengetahuan intuitif bekerja dalam pikiran. Seperti halnya cinta dan benci dalam pandangan setiap orang berbeda-beda. Bagaimanakah hasilnya kalau dalam setiap pandangan yang berbeda-beda itu setiap orang berbagi tentang matematika? Lalu, mengapaperlu diajarkan kalau matematika itu bersfat intutif?
C. Karakteristik Matematika
Matematika selalu berkembang seiring peradaban manusia. Namun dibalik semua itu matematika juga mempunyai suatu pandangan yang sudah disepakati bersama, di antaranya sebagi berikut :
1. Memilliki Objek Kajian yang Abstrak
Mungkin ada perbedaan pendapat mengenai mengenai konsep matematika abstrak ini. Ada empat kajian matematika, yaitu: fakta, operasi/ relasi, konsep, dan prinsip.
2. Bertumpu pada Kesepakatan
Simbol-simbol adalah istilah dalam matematika merupakan kesepakatan atau konvensi penting. Dengan simbol atau istilah yang disepakati dalam matematika, maka pembahasan selanjtunya akan lebih mudah dilakukan dan dikumunikasikan.
3. Berpola Pikir Deduktif
Dalam matematika hanya diterima pola pikir yang bersifat deduktif. Pola pikir deduktif ini secara sederhana dapat dikatakan pemikiran yang berpangakal dari hal yang bersifat umum diterapkan atau diarahakan kepada hal yang bersifat khusus.
4. Konsisten dalam sistemnya
Di dalam masing-masing sistem, berlaku ketaatasasan atau konsistensi. Artinya dalam setiap sistem tidak boleh adanya kontradiksi.
Kesimpulan
Sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat dari para ilmuan matematika tentang apa yang disebut matematika. Untuk menafsirkan matematika para ilmuan belum pernah mencapai titik “puncak” kesepakatan yang “sempurna”.
Sumardyono (2004) menjelaskan bahwa secara umum terdapat tiga aliran besar yang mempengaruhi perkembangan matematika, termasuk perkembangan pendidikan matematika, yakni: aliran logikalisme, aliran formalisme, dan aliran intuisionisme.
Pandangan dalam matematika yang telah disepakati bersama, antara lain:
- Memiliki objek kajian yang abstrak
- Bertumpu pada kesepakatan
- Berpola pikir deduktif
- Konsistensi dalam sistemnya
DAFTAR PUSTAKA
Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta: Balai Pustaka.
Echols,John M dan Hasan Shadilly. 2003. Kamus Inggris-Indonesia. Jakarta: Gramedia.
Fathani,Abdul Halim. 2009. Matematika(Hakikat &Logika). Jogjakarta: Ar-Ruzz Media
Gie ,The Liang. 1981. Filsafat Matematika. Yogyakarta : Supersukses.
Sumardyono. Karakterisitik Matematika dan Implikasinya Terhadap Pembelajaran Matematika.
Suriasumantri,Jujun S. 2003. Ilmu dalam Perspektif. Jakarta: Yayasan Obor Indonesia.
file.upi.edu/Direktori/.../JUR...MATEMATIKA/.../Aliran_matematika.pdf
Ilmu matematika bukan hanya ilmu yang terbatas pada hitungan , melainkan banyak lagi bagian dari matematika yang belum kita ketahui bentuknya.
Apakah matematika itu ? Sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat dari para ilmuan matematika tentang apa yang disebut matematika. Untuk menafsirkan matematika para ilmuan belum pernah mencapai titik “puncak” kesepakatan yang “sempurna”. Banyak definisi yang dikemukakan oleh para ilmuan tentang matematika ini, menunjukkan bahwa ilmu matematika ini adalah ilmu yang memiliki kajian luas.
Pada makalah ini penyusun akan membahas seluk beluk ilmu matematika dan aliran – aliran dalam filsafat matematika.
A. Hakikat Matematika
1. Pengertian Matematika
Istilah matematika berasal dari bahasa Inggris , mathematics, yang artinya ilmu pasti, matematika. Mathematical merupakan kata sifat, artinya berhubungan dengan ilmu pasti. Mathematically adalah kata kerja yang artinya menurut ilmu pasti, secara mathematis, dan mathematician adalah kata benda yang artinya, yaitu orang ahli matematika.
Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, matematika artinya “ ilmu tentang bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan”.
Hudoyo (1979:96) mengemukakan bahwa hakikat matematika berkenaan dengan ide-ide, struktur- struktur dan hubungan-hubungannya yang diatur menurut urutan yang logis. Jadi matematika berkenaan dengan konsep-konsep yang abstrak. Selanjutnya dikemukakan bahwa apabila matematika dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan maka simbol- simbol formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang beroperasi di dalam struktur-struktur. Sedang Soedjadi (1985:13) berpendapat bahwa simbol-simbol di dalam matematika umumnya masih kosong dari arti sehingga dapat diberi arti sesuai dengan lingkup semestanya.
Selain itu ada juga yang mengatakan bahwa matematika adalah bahasa yang dapat menghilangkan sifat yang kurang jelas dan emosional. Matematika adalah metode berpikir logis. Matematika adalah sarana berpikir. Matematika adalah raja dari ilmu lain yang perkembangannya tidak tergantung ilmu lain.
Matematika merupakan puncak kegemilangan intelektual. Di samping pengetahuan matematika itu sendiri, matematika memberikan bahasa, proses dan teori, yang memberikan ilmu suatu bentuk dan kekuasaan. Perhitungan matematika menjadi dasar bagi desain ilmu teknik.
2. Matematika adalah ilmu Deduktif
Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif, karena proses mencari kebenaran (generalisasi) dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan yang lain. Metode yang pencarian kebenaran yang dipakai adalah metode deduktif, tidak dapat dengan cara induktif. Pada ilmu pengetahuan alam adalah metodeinduktif dan eksperimen.
Ciri utama matematika adalah penalaran deduktif tanpa mempersyaratkan penalaran induktif. Penalaran deduktif ini lahir melalui kebenaran suatu konsep yang diperoleh sebagai akibat logis dari pernyataan sebelumnya sehingga kaitan pernyataan yang dahulu dengan berikutnya di dalam matematika selalu konsisisten.
Walaupun dalam mtematika mencari kebenaran itu dapat dimulai dengan cara induktif, tetapi sterusnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus bisa di buktikan dengan cara deduktif. Dalam matematika suatu generalisasi dari sifat, teori atau dalil itu dapat diterima kebenarannya sesudahnya dibuktikan secara deduktif.
Matematika merupakan ilmu deduktif, aksiomatik, hirarkis, abstrak, bahasa simbol yang padat artinya dan semacam sistem matematika. Sistem matematika merupakan sistem yang berisi model-model matematika yang digunakan untuk memecahkan persoalan-persoalan di dunia nyata. Manfaat lain dari ilmu matematika adalah menjadikan pola pikir manusia yang mempelajarinya menjadi pola pikir matematis yang sistematis, logis, kritis, dengan penuh kecermatan.
Berdasarkan perspektif epistemologi, kebenaran matematika terbagi dalam dua kategori, yaitu pandangan absolut dan pandangan fallibilis. Absolutis memandang kebenaran matematika secara absolut, bahwa „mathematics is the one and perhaps the only realm of certain, unquestionable and objective knowledge‟, sedangkan menurut fallibilis mathematicak truth is corrigible, and can never regarded as being above revision and correction‟ (Ernest, 1991).
Menurut Woozley (dalam Ernest, 1991), pengetahuan terbagi dalam dua kategori, yaitu pengetahuan a priori dan pengetahuan a posteriori (empirical). Pengetahuan apriori memuat proposisi yang didasarkan atas, tanpa dibantu dengan observasi terhadap dunia. Penalaran di sini memuat penggunaan logika.
Deduktif dan makna dari istilah-istilah, secara tipikal dapat ditemukan dalam definisi. Secara kontras pengetahuan a posteriori memuat proposi yang didasarkan atas pengalaman, yaitu berdasarkan observasi dunia.
Absolutis memandang pengetahuan matematika didasarkan atas dua jenis asumsi; matematika ini berkaitan dengan asumsi dari aksioma dan definisi, dan logika yang berkaitan dengan asumsi aksioma, aturan menarik kesimpulan dan bahasa formal serta sintak. Ada lokal (micro) dan ada global (macro) asumsi, seperti deduksi logika cukup untuk menetapkan kebenaran matematika. Menurut Wilder (dalam Ernest, 1991), pandangan absolutis menemui masalah pada permulaan permulaan abad 20, ketika sejumlah antinomis dan kontradiksi yang diturunkan dalam matematika. Kontradiksi lainnya muncul dalah teori himpunan dan teori fungsi. Penemuan ini berakibat terkuburnya pandangan absolutis tentang matematika. Jika matematika itu pasti dan semua teoremanya pasti, bagaimana dapat terjadi kontradiksi di antara teorema-teorema itu? Tesis dari fallibilis memiliki dua bentuk yang ekivalen, satu positif dan satu negatif. Bentuk negatif berkaitan dengan penolakan terhadap absolutis; pengetahuan matematika bukan kebenaran yang mutlak dan tidak memiliki validitas yang absolut. Bentuk positifnya adalah pengetahuan matematika dapat dikoreksi dan terbuka untuk direvisi terus menerus.
B. Aliran dalam Filsafat Matematika
Para ahli banyak berbeda pendapat tentang pemikiran filsafat dan matematika. Pemikiran tentang matematika diwarnai dengan perdebatan sengit antara ahli matematika yang satu dengan ahli matematika lainnya. Karena adanya perdebatan ini seoalah-olah para ahli terkotak-kotak menurut kelompoknya masing-masing berdasarkan sudut pandang pandang dan ide yang dikeluarkannya.
Sumardyono (2004) menjelaskan bahwa secara umum terdapat tiga aliran besar yang mempengaruhi perkembangan matematika, termasuk perkembangan pendidikan matematika, yakni:
1. Aliran Logikalisme atau Logisisme
Logisisme memandang bahwa matematika sebagai bagian dari logika. Penganutnya antara lain G. Leibniz, G. Frege (1893), B. Russell (1919), A.N. Whitehead dan R. Carnap(1931). Logisme dipelopori oleh filsuf Inggris bernama Bertrand Arthur William Russell menerima logisisme adalah yang paling jelas, pernyataan penting yang dikemukakannya, yaitu semua konsep matematika secara mutlak dapat disederhanakan pada konsep logika dan semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan melalui penarikan kesimpulan secara logika semata. Dengan demikian logika dan matematika merupakan bidang yang sama karena seluruh konsep dan dalil matematika dapat diturunkan dari logika.
Secara umum, ilmu merupakan pengetahuan berdasarkan analisis dalam menarik kesimpulan menurut pola pikir tertentu. Matematika, menurut Wittgenstein, merupakan metode berpikir logis. Berdasarkan perkembangannya, masalah logika makin lama makin rumit dan membutukan suatu metode yang sempurna. Dalam pandangan inilah, logika berkembang menjadi matematika. Menurut Russell, bahwa “ matematika merupakan masa kedewasaan matematika, sedangkan logika adalah masa kecil matematika”
Menurut Ernest (1991), ada beberapa keberatan terhadap logisisme antara lain:
a. Bahwa pernyataan matematika sebagai impilikasi pernyataan sebelumnya, dengan demikian kebenaran-kebenaran aksioma sebelumnya memerlukan eksplorasi tanpa menyatakan benar atau salah. Hal ini mengarah pada kekeliruan karena tidak semua kebenaran matematika dapat dinyatakan sebagai pernyataan implikasi.
b. Teorema Ketiddaksempurnaan Godel menyatakan bahwa bukti deduktif tidak cukup untuk mendemonstrasikan semua kebenaran matematika. Oleh karena itu reduksi yang sukses mengenai aksioma matematika melalui logika belum cukup untuik menurunkan semua kebenaran matematika.
c. Kepastian dan keajegan logika bergantung kepada asumsi-asumsi yang tidak teruji dan tidak dijustifikasi. Program logisis mengurangi kepastian pengetahuan matematika dan merupakan kegagalan prinsip dari logisisme. Logika tidak menyediakan suatu dasar tertentu untuk pengetahuan matematika.
2. Aliran Formalisme
Landasan matematika formalisme dipelopori oleh ahli matematika besar dari Jerman David Hilbert. Menurut airan ini sifat alami dari matematika ialah sebagai sistem lambang yang formal, matematika bersangkut paut dengan sifat – sifat struktural dari simbol – simbol dan proses pengolahan terhadap lambang – lambang itu. Simbol – simbol dianggap mewakili berbagai sasaran yang menjadi obyek matematika. Bilangan – bilangan misalnya dipandang sebagai sifat – sifat struktural yang paling sederhana dari benda – benda.
Menurut Ernest (1991) formalis memiliki dua dua tesis, yaitu
1. Matematika dapat dinyatakan sebagai sistem formal yang tidak dapat ditafsirkan sebarangan, kebenaran matematika disajikan melalui teorema-teorema formal.
2. Keamanan dari sistem formal ini dapat didemostrasikan dengan terbebasnya dari ketidak konsistenan.
Berdasarkan landasan pemikiran itu seorang pendukung aliran formalisme merumuskan matematika sebagai ilmu tentang sistem – sistem formal.
Walaupun semua sistem matematika masih menggunakan sistem aksioma, tetapi menganggap matematika sebagai konsep formalisme tidak dterimaoleh beberapa ahli.keberatan bermula ketika Godel membuktikan bahwa tidak mungkin bisa membuat sistem yang lengkap dan konsisten dalam dirinya sendiri. Pernyataan ini dikenal dengan Teorema Ketidaklengkapan Godel (Godel’s Incompleteness Theorem).
3. Aliran Intuitonisme
Aliran intuitonisme yang dipelopori oleh ahli matematik dari Belanda yaitu Luitzen Egbertus Jan Brouwer, be;iau berpendirian bahwa matematika adalah sama dengan bagian yang eksak dari pemikiran matematika. Ketetapan matematika terletak dalam akal manusia dan tidak pada simbol – simbol di atas kertas. Selanjutnya intuisionis menyatakan bahwa obyek segala sesuatu termasuk matematika, keberadaannya hanya terdapat pada pikiran kita, sedangkan secara eksternal dianggap tidak ada.
Dalam pemikiran intuitionisme matematika berlandaskan suatu dasar mengenai kemungkinan untuk membangun sebuah seri bilangan yang tak terbatas sebuah seri bilangan yang tak terbatas, pernyataan ini pada hakikatnya merupakan suatu aktivitas berfikir tang yang tak tergantung pada pengalaman, bebas dari bahasa dan simbolis, serta bersifat obyektif.
Keberatan terhadap aliran ini adalah bahwa pandangan kaum intuitisme tidak memberikan gambaran yang jelas tentang bagaimana matematika bekerja dalam pikiran. Kita tidak mengetahui secara tepat pengetahuan intuitif bekerja dalam pikiran. Seperti halnya cinta dan benci dalam pandangan setiap orang berbeda-beda. Bagaimanakah hasilnya kalau dalam setiap pandangan yang berbeda-beda itu setiap orang berbagi tentang matematika? Lalu, mengapaperlu diajarkan kalau matematika itu bersfat intutif?
C. Karakteristik Matematika
Matematika selalu berkembang seiring peradaban manusia. Namun dibalik semua itu matematika juga mempunyai suatu pandangan yang sudah disepakati bersama, di antaranya sebagi berikut :
1. Memilliki Objek Kajian yang Abstrak
Mungkin ada perbedaan pendapat mengenai mengenai konsep matematika abstrak ini. Ada empat kajian matematika, yaitu: fakta, operasi/ relasi, konsep, dan prinsip.
2. Bertumpu pada Kesepakatan
Simbol-simbol adalah istilah dalam matematika merupakan kesepakatan atau konvensi penting. Dengan simbol atau istilah yang disepakati dalam matematika, maka pembahasan selanjtunya akan lebih mudah dilakukan dan dikumunikasikan.
3. Berpola Pikir Deduktif
Dalam matematika hanya diterima pola pikir yang bersifat deduktif. Pola pikir deduktif ini secara sederhana dapat dikatakan pemikiran yang berpangakal dari hal yang bersifat umum diterapkan atau diarahakan kepada hal yang bersifat khusus.
4. Konsisten dalam sistemnya
Di dalam masing-masing sistem, berlaku ketaatasasan atau konsistensi. Artinya dalam setiap sistem tidak boleh adanya kontradiksi.
Kesimpulan
Sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat dari para ilmuan matematika tentang apa yang disebut matematika. Untuk menafsirkan matematika para ilmuan belum pernah mencapai titik “puncak” kesepakatan yang “sempurna”.
Sumardyono (2004) menjelaskan bahwa secara umum terdapat tiga aliran besar yang mempengaruhi perkembangan matematika, termasuk perkembangan pendidikan matematika, yakni: aliran logikalisme, aliran formalisme, dan aliran intuisionisme.
Pandangan dalam matematika yang telah disepakati bersama, antara lain:
- Memiliki objek kajian yang abstrak
- Bertumpu pada kesepakatan
- Berpola pikir deduktif
- Konsistensi dalam sistemnya
DAFTAR PUSTAKA
Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta: Balai Pustaka.
Echols,John M dan Hasan Shadilly. 2003. Kamus Inggris-Indonesia. Jakarta: Gramedia.
Fathani,Abdul Halim. 2009. Matematika(Hakikat &Logika). Jogjakarta: Ar-Ruzz Media
Gie ,The Liang. 1981. Filsafat Matematika. Yogyakarta : Supersukses.
Sumardyono. Karakterisitik Matematika dan Implikasinya Terhadap Pembelajaran Matematika.
Suriasumantri,Jujun S. 2003. Ilmu dalam Perspektif. Jakarta: Yayasan Obor Indonesia.
file.upi.edu/Direktori/.../JUR...MATEMATIKA/.../Aliran_matematika.pdf
No comments:
Post a Comment